2010年04月10日

チルノのパーフェクト東大数学教室

力作です!今年(2010年)の問題を使って東大数学をやってみよう!
俺は今日の授業中に約80分で一通り問題を解いたぜ
解いただけで答案までは作ってないのでみんなと条件は大体同じくらいだと思われ。
この解いた問題を使って、

東大数学が得意な人はどうやって問題を解き始めるのか?

が伝われば幸い。
特に最近の数学はやたら簡単な問題が混じっててそこは絶対取る事が大切だし、
逆にひらめきが大事な問題とか、一見難しそうな問題とか、
まぁ結構解く順番とか考え方って大事だよねっていう。
俺の数学力自慢でもあるwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
壮絶なネタバレになるので今年の問題をまだ見たく無い人は注意。








一通り俺の数学自慢から。

河合全統では満点を取って数学の偏差値が85を超えたことがあります
全部で12回受けた東大模試で偏差値60を切った事はありません。
また駿台の第二回東大実戦では平均点20点の中、54点を取り偏差値76.1を出しました。

さんざん自慢して何が言いたいかというと、

俺つええええええええええええええええええええええええ

という事だけwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

何も特別な事をしているわけではなく、さらに中学受験の時には算数が一番の苦手科目だったのよね。
算数さえ無ければどこの中学にも入れたのになぁと今でも悔しがってるほどです


文系数学の問題を解くのに必要なのは

一対一レベルの問題集の解法を完璧に身に付ける

で、どんな問題が来ても、さっと対応して解く。
これが重要です。



自慢話はこれくらいにして問題に戻りましょう。

http://nyushi.yomiuri.co.jp/10/sokuho/tokyo/zenki/index.html


さぁ問題が4問目の前に並んでます。

はい、解きます。解きますがその前に。


絶対出来そうな問題から手を付けよう


どれが出来そうか、ぱっと見では判断出来ないでしょ?
それに、どの問題が、どうやったら解けて、どれくらいの時間で解けるのか
これが分からないままにむやみに突っ込むと危ない


最初に、焦らないで4問全部を一通り見ます
まず第1問だったら座標の問題なので、計算用紙にとりあえず図を綺麗にかいてみましょう
東大の問題ではありがちですが、問題文がややこしいので問題文をわかりやすく解釈する必要があります。

△OABと△0ACの面積は、sin*a*b*1/2で立式できそう(で、イコールで結んで計算式を解けばいい)なので、∠AOBとか∠BOCをθで表します

この、〜〜と立式して、計算すれば解けそう っていう見通しを持つのがめちゃくちゃ大切です。
〜〜して、〜〜して、〜〜すればいいんだな と解法が浮かんでるので、途中で
「今これ何してんの?」ってなることがないです。
しかも計算すればいいんだな って分かってるから、
「その問題は解けそう(最初に手を付けられそう)」
という判断が出来ます。

図を書いてみて問題文を3分くらい考えてかまいません。

大体、俺はこの最初の4問の選別に5分から10分は使います。
がむしゃらに1番から解くんじゃなくて一度じっくり順番を考えてみて下さい。
この時に俺は問題のA〜Dの難易度と所要時間まで考えます。

1番は計算問題ですぐ処理できそう。 Bで15分〜20分くらい? っていう感じです。

2番に行きます。
式はなんだか難しそうですけど、これはtを代入して展開。係数比較に持ち込めば良さそうです。
恒等式=係数比較 がパッと思い浮かばない人は解法暗記が足りてません。気をつけましょう。

そんなに複雑な式ではない(2次式だし)し、これは東大数学内では一番簡単な部類の問題っぽいです。
ゼヒゼヒここから攻めていこうかな?っていう感じ。難易度はAで15分もいらないくらいでしょう。


3番へ。
はい出ました。東大典型の確率漸化式っぽい問題。
問題文がめちゃくちゃ長いです。国語のつもりで読んで下さい。
こういう意味不明な問題は、適当にx=1 とかx=11とか設定して、言われた通りに何回か操作して、そこから規則性を見つけるのが一番です。
俺も早速ちょいちょい操作をやってみましたが、問題文がややこしすぎて意味不明です。
というか書いてある操作自体がまず出来ません。

後回しにしましょう。
全く見当も付かないです。意味不明っていう感じ。


4番
図を書きます。直角二等辺三角形になる場合が見当も付きません。
PQRをsincosで座標を設定してベクトルの内積が・・・みたいな方法か、
または単に三平方を使って・・・ とか、
計算でゴリ押しするには明らかにシンドイ感じがします。
特に解法も思いつかないので後回しです。難易度Cとしておきましょう。


ここまで大体5分〜10分くらいですね。2完出来れば合格ラインには乗りそうです。

この4問を見て、最初の2問は解けそう!って思えない人は東大を受けるには勉強不足だと思います。
最悪でも、2番から手を付けるのは必須です。


で、2番を解きます。

実は積分するのは3ヶ月ぶりくらい

だけどまぁ問題はないです。恒等式を解くだけです。


・・・少女計算中・・・


はい、なんの変哲もなく答えが出ました。簡単すぎて拍子抜けしそうです。
青チャートでやれ


次は1番に行きます。
△OAB=sin(180-θ)*3*2*1/2=sin(60+θ)*3*1*1/2=△OAC
になります。
ここまでの式を立てれば間違いなく部分点になります。解けない人も頑張ってください。

で、sin(180-θ)=sinθ を使って(これくらいは解法として身に付けてね)
ちょいちょいっと変形して
√3sinθ-cosθ=0 になって、
三角関数の合成で求めて・・・ ってやるのは分かるんだけども、
俺はもう合成のやり方を忘れちゃった
ので適当に当てはまりそうな数字を考えて、θ=30°を答えにします。

もし答案をきちんと書くとしたら、

  この式を合成すると答えがわかり、θ=30°

とかうまくごまかして書きましょう。
解答の方針が立っているのでなんとか誤魔化しがききますね!


(2)は、面積の和が最大ということなんで、
適当にさっきの式を足しまして、
3/4(5sinθ+√3cosθ)までは変形できると思います。

こんな合成できないよ!

ってなるのは当然なので、分からない人はここらへんで投げちゃってもいいと思います。
わかんなくても、部分点が貰えそうな所は全部書く
これが基本です。

幸いにして、俺はなにかを合成した時は、その係数は、√(a^2+b^2) になりそうだ
ということが思い出せたので、
これは2√7sin(θ±なんか) になりそうだとわかりました。
sinは1が最大なので、多分sinなんとかが1の時にこの式が最大になりそうだという見当が付きます(なんとなくでもこの見当を付けてください。カンが一番大切です。)
俺はここらへんでようやく合成が思い出せたので(ああ、行って上がってだっけ?レベルに)
θ+α=90°になればいいんだな、つまりθ=90°−α だな
sin90-α=cosα だな と辿っていって完答です。


はい、なんとか40分〜50分くらいで2完出来ました。
数学が苦手な人はもうここで見直しに入り、2完を確実な物にしてから残りの問題に進んでもいいと思います。
このセットは絶対に2完はしないとやばいです。

4番はちょっとアイデアも浮かびそうにないです。ので3番に行きます。

まずは書いてある操作、これを必死で再現しましょう。

で、俺は書いてある操作が理解不能でした

そもそもxに対してうまいyを設定するってどういう意味だ?

という疑問が残ります。
(2)の方は、スタート地点が10個と分かっているので、

こっちはひたすら書きまくれば帰納的にわかりそうです

(1)が証明だったりするときは、それが解けなくても(2)ではその証明を使ってもいいらしいです(ソースは2ちゃんかなんかの本かどっか。つまり無し)
この場合なんか、n=1,2,3程度分かればなんとなく見当は付きそうですから図を書いて頑張ってみましょう。
大丈夫、時間はまだまだあります。

Rの個数を考えるのがもうめんどくさいのでLの個数だけ書いて樹形図的にしてみましょう

suugaku.GIF

非常に美しい図になりました(キリッ

どうやら、一度Lの個数が0か30に落ちるとそのままになって終わりみたいです。
Lが30になるには、10→20→10→20→・・・→20→30
となる必要があるみたいで、
例えば4回目に30である確率を考えると、
2回目にちょうど30になる確率=1/2*1/2=1/4
3回目にちょうど30になる確率=1/2^4=1/16
の和っぽいことがわかります。
6回目は 1/2^6=1/64を足せばいいわけですね。

あとはこれを適当に一般化してやるだけです。等比数列の和の公式を使って答えが出ます。

で、

こういうnの入った式は、適当にnに数字を代入すればすぐに検算が出来ます

是非やりましょう。計算ミスがぐーんと減ります。

はい、で、(1)を見てみます。

これを解くためには、まずxを1とか2とか22とか29とかとにかくいろいろ置いて実験してみることです。

kaitou.JPG


これを見ればわかるように必死にいろいろ手で実験してます
で、わかったことは、L(つまりx)が小さい数字の時、1回オモテが出るとxは2倍になります。1回ウラが出ると0になってしまいます。1回オモテが出た時のLが、m-1回後に30個かどうかは、2xの値次第ですよね?

Pm-1を考えろと言われてるので、Lの中身が2xの時を考えればいいですね。
1回オモテが出れば・・・と言ってるわけで1/2を掛ければそれが答えになります。

逆にxが大きい数字の時はどうでしょうか?
17からスタートすると、オモテが出れば30(ずっと30です) ウラが出ると4になります。
17がm回後に30かどうかは、4がm-1回後に30かどうかの問題になります。
17と4の関係はよくわかりませんが、他にもいろいろためしてみると、
2x-30 になってることがわかりました。
というわけで15を境にして、式を変えてやればいいことがわかります。
上手くyを選べというのは、 y=2x(x<15) y=2x-30(x>15)
という話のことなのでした。



はい、最初は何のことだかさっぱり・・・
だった第3問が見事解けたことになります!!!!!

俺はこの問題を知ってたわけではないし、意味すら良く理解出来ませんでした。
わけわからん問題の時は

まずはひたすら言われた通りに実験してみよう

ということを忘れないでください。
実験した結果から帰納的に答えが分かることが、確率とかだと多いです。

こういう問題は多分得意な人と苦手な人がめちゃくちゃはっきり分かれるので、
この手の問題が解けるようになると数学が得意な側になれると思います。

そりゃぁこの解き方をそのまま解答にするのは難しいですが、

答えさえ合ってれば間違いなくたくさん点数くれる

のですから、恐れずにやっちゃいましょう。
俺だったらこの実験の様子も多分答案に書きます。

黙ってみてても答えは絶対に出てきません。とにかく実験あるのみです。

あと、(2)の方が解きやすそうな時はそっちから解いちゃダメという決まりはありません。
積極的に部分点をゲットしてください


あと20〜30分残っています。(俺の授業時間はあと10分くらいです)
3番を早々に諦めて4番に行く人もいるでしょう。

4番を見てみます。

俺がもし受験生なら間違いなく、それぞれの座標をsincosで設定して、
P(mcost,msint) Q(cost,sint) R(cos-t,sin-t)
QRとRPの長さが同じで、内積が0 という式を立てて計算したと思います。

高校数学に慣れている受験生にとってはそれが一番自然な発想だと思います。
しかし、俺はもう内積とかの計算の仕方を忘れちゃったのでやってませんが、この方法は多分どっかで計算詰まって投げることになると思います。
2008年の入試問題と一緒のパターンです。

まぁそれはしょうがないっちゃしょうがないし、計算力(腕力)で強引に持って行くのも手でしょう。

ちょっと計算してグロい式になったら、他を全部完答出来てるのでなければ他を見に行った方が良いと思います。












今これを読んでる君は、


じゃあこれどうすんの?



と思ったでしょう(俺なら思います)



一つのアイデアは、


部分点が取れそうな途中式だけ立てて逃げる

これです。

計算不能な式になろうが、とりあえず座標さえ置いておけば2点くらいは貰えるはず。

完答不能でもしゃぶれるだけ部分点はしゃぶっておきましょう


ところが、俺はもうベクトルは完全に忘れ去りました。
計算で解くのをソッコーで諦めて、とりあえず1つでも直角二等辺三角形になってる状態を探すことにしました。

で、うまくかけねーなぁ と思っているとあることに気づいたんです。

これが直角二等辺三角形になるとき、3点は円周上の円であることから、

つまり、これは円周角の定理の特別な場合でPRが直径の場合だ!

ということに気づきました。直角二等辺三角形なので、QRの円周角は45°、つまりQRの中心角は90°だ!
ということに気づくと思います。

俺は授業時間が終わりに近づいたために、うっかり問題文の設定を

(m,1,1)と自分の都合の良い数字に見間違えて誤答

しましたが、円周角の定理を使うこと自体は間違ってないので半答の点数くらいは貰えると思います。

問題文はちゃんと読もう!(キリッ

詳しくは解答でも見ればいいと思いますが、正直これはなかなか難しい問題なので捨てていいでしょう。

東大って結構初等幾何好きだよね・・・って思います。時々。
うーん、いい問題だ。
証明問題が一時期東大で出たことがあるけども、最近は円周角の定理が多いような気もしますね。




東大文系数学は解ける問題から解いていって、時間ちょうどに終わるようになってます。

あの問題に時間を掛けすぎたけど、こっちに時間を使ってれば良かった・・・
ってなるのが一番まずいのですが、

それは、

本来の力を出し切っていれば必ず取れたはずの点数

を落としたことになるからです。


数学の試験が終わったときに、

これ以上時間があっても、何もすることはない(自分の出来ることは全てやった)状態がベストです。


元々自分の力では解けないような問題(今回で言えば4問目)
は、試験場で考えても出来るわけがないので、出来る問題だけしっかり拾っていくことを重視してください。

1番と2番は一対一レベルなので瞬殺出来るように。

3番は東大の過去問とか模試問に当たりまくれば慣れると思います。

4番からゴリゴリするのはちょっと頭悪いですね。

文理共通の問題(つまり理系でも出た問題)は3番と4番で、3番には(3)が加わっていました。
このことからも
今回は難易度が
1=2>3>4
になってたことがわかるでしょう。


この問題なら2完が合格の最低ライン、3完1部分点出来れば十分っていう感じです。
得意な人は是非とも2完1半+1部分点(4番)を目指して頑張って下さい!
なにか質問があれば受け付けます。ちなみにこの記事は今までで一番の力作です。

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posted by ロボたいしょう at 00:50 | Comment(3) | 受験 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
はじめまして!
東大文系学部志望の浪人です。
去年まで私文志望だったので数学が0からです。
そこで質問なのですが、中学レベルから全てやり直して高校レベルに入るのと、高校レベルでわからなくなったらその単元の中学レベルまで戻るのとではどっちがいいと思いますか?
また、時期別到達点(8月までに偏差値〜無いときつい。など)を教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。
Posted by とおる at 2010年04月10日 01:12
数学ってあんまり中学とか高校とか考えたことないですけど、
中学レベルから全部やり直すのは時間かかりすぎるし多分途中で飽きると思います。

連立方程式とか一次方程式、二次関数の解の公式とかも全部わすれちゃってます?
俺はベクトルが全部0からの自学自習だったので細野のベクトルを使いました。
ただ、全部ゼロからとなると1年で満足にカバーするのは難しいと思います。
これでわかる数学 が一番自習に向いてるらしいので、これを立ち読みしてみて意味が理解できなかったら(特に数1の、数と式と二次関数)
そのときは中学校レベルからやりなおしたほうがいいかもしれません。
ただ俺はこの本を使って勉強したわけではないので的外れなアドバイスの可能性が大いにあります。

中学の数学なんかやらなくても高校にはあんまりかんけーねー とは思いますが、
俺が気づいてないレベルで、計算力とかに影響が出てるかもしれません。これでわかる で一通り押さえて、網羅型参考書(青茶とか黄茶とかその他)を暗記する

というのが一応のモデルプラン・・・だと思います。

時期別到達点はちょっとよくわかりません。それは
どれだけ数学が出来ないか(私文にするくらいなんだから相当出来ないんだと思いますけど)、他の科目の仕上がり具合はどうか(恐らく地歴は1科目しかやってないですよね?)
によって数学にさける時間が変わるからです。
最低でもセンター本番で1A2B合わせて140はないとやばいと思います。

はっきり俺の個人的意見を言うと、私文で浪人ということは英語とか社会とか国語にもどっかしら問題があるわけですし、
ここで数学を0から全部やるのはかなり難しいと思います。
私文の浪人が一年浪人して普通に入れるほど甘くはないです。
早慶受けてA判だったのに何故か落ちた みたいな感じだったら頑張ればなんとかなるかもしれませんが。
キツイことを上から目線で言ってごめんなさい。
別に受けたらダメだといってるわけではないので、
何を言われようが頑張る というのであれば応援します。
Posted by しいたけ at 2010年04月10日 02:00
お返事ありがとうございます。
中学レベルは所々抜けてる感じなのでわからなくなったら中学レベルに戻るというやり方で行こうと思います。
偏差値は65で早稲田B判落ちですからさらにきついでしょうが、覚悟の上です。
やれるだけやって本当に無理そうなら諦めます。
とりあえず今はセンター140を目指してがんばります。
ためになる意見ありがとうございました。
Posted by とおる at 2010年04月10日 09:25
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