2015年12月11日

微分方程式を学ぼう

微分方程式を学べば、なぜ我々が数学を勉強させられて来たかがわかる。

何のために、小学校の算数に始まり(まぁさすがに算数知らんと生きていけないと思うけど)
中学校高校と数学を多大な労力をかけて勉強してきたのか。
二次関数とかわけわからん解の公式がなぜ必要だったのか。

指数関数(さすがに複利計算で実生活にも必要だと思うけど)だけでなく、
sinとかcosとか公式がうじゃうじゃ出てきてわけわからん三角関数がなぜ必要だったのか。
(実際にはありもしないのに)虚数がなぜ必要なのか。
微分・積分がなぜ必要だったのか。なんの役に立つのか。
(さすがに確率が役に立たないという人は居ないと思うのだけれど・・・)

全部、微分方程式を勉強すればわかる
微分方程式を考えたのは歴史上最も偉大な科学者、ニュートンだ。
自然現象の多くは、微分方程式であらわされる。(ある点から離れれば離れるほど、より強い力が働く(ばねを思い浮かべよ) なんてのは微分方程式だ)

高校の数学・物理は全部ニュートンに追いつくための下準備だったと考えれば、すべてが納得できる。
リンゴは地面に落ちるが月は地面に落ちてこない。
アリストテレス以来、リンゴと月は全く別世界のものだと思われていたが、ニュートンは全く同じ物理法則にしたがうことを示した。
アリストテレスの世界観(つまり人間の持つ自然な思い込み)を打ち破った、大きな一歩だったと思う。
高校までの数学を勉強し、微分方程式を解けば、同じ感動が味わえるのだ。

なぜ数学を勉強するのか
http://d.hatena.ne.jp/Zellij/20120826/p1


問:数学を何故学ぶか? 答:言葉で伝えきれないものを伝えるため/数学となら、できること/図書館となら、できること番外編
http://readingmonkey.blog45.fc2.com/blog-entry-618.html

足し算引き算も、九九も分数も、文字式も方程式も、いろんな関数も、その微分積分も、すべては微分方程式をやるための準備。ベクトルと行列、これらを一般化した線形代数は、線形微分方程式を解くための強力なツールだし、フーリエ変換(級数)、ラプラス変換はもともと微分方程式を解くために開発された手法。フーリエ級数の(復元の)一意性の問題から集合論ははじまった。多くの人は準備の途中でやめてしまうから、結局何のために数学を学ぶのか永遠に分からない。



あなたやあなたの子供がプログラミングすることができると、どんなに素晴らしいことが起きるか
http://d.hatena.ne.jp/shi3z/20151109/1447027620

これが「月が地球に落ちてこない理由」を本質的かつ体感的に理解できる瞬間であり、人類が数百年かけて辿り着いた叡智を一瞬にして自分のものにできる快感である。
プログラミングができるというのは、このように他の人に知識や考えを共有することができるということでもあるのだ。


オイラーの公式(博士の愛した数式)
e^(i*pi) + 1 = 0


という一見どう見てもむちゃくちゃな公式も、微分方程式を解くのに必要なのである。
というかこの公式によって、三角関数⇔指数関数であることがわかる。複素数で考えることの強さがわかる。
二次関数だって特性方程式を解くのに必要だし、微分・積分は言わずもがな。
自然対数の底も、三角関数(というかこれも指数関数なんだけど)も、自然の動き(力学)を表現するためには絶対に欠かせないものであることがわかる。

微分方程式を解くために数学が発展したという面は一つの事実だし、代数・幾何・解析のうち、高校までに学ぶ内容が明らかに解析に偏っているのも、微分方程式を解く(つまり自然現象を表した方程式をを解けるようになる)ためのツールとして、数学を学んできたということではなかろうか。
微分をやるだけ、積分をやるだけで高校の数学は終わってしまっているのだが、微分方程式を立ててそれを解くという強烈な実際の動機がニュートンにはあったのだ。

微分方程式を学ぶことによって、我々は高校までの数学が一体なんだったのか(そして物理のうじゃうじゃした公式たちは何だったのか)、しっかり全部納得することが出来る。
さらに、キリスト・アリストテレス・ブッダなどの古代哲学者の考えた天体の動きを乗り越え、ニュートンと同じレベルまで前に進むことが出来る。

微分方程式くらい一度勉強してないと恥ずかしいと思う。
個人的には全てがつながった瞬間だった。
posted by ロボたいしょう at 22:05 | Comment(1) | 雑記 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
まあ解ける微分方程式の方が例外的だけど
Posted by 名無し at 2015年12月21日 03:26
コメントを書く
お名前:

メールアドレス:

ホームページアドレス:

コメント: